Devoir Maison - Suites numériques

Exercice 1

On cherche à résoudre $(x^2 + 2 x - 2)(3 x + 6) \geq 0$ :

Calcul du discriminant : $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 12 \gt 0$

Les deux racines sont donc : $$ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 + 2 \sqrt{3}}{2} = -1 + \sqrt{3} $$ $$ x_1 = \frac{-2 - \sqrt{12}}{2} = -1 - \sqrt{3} $$

$3 x + 6$ s'annule pour $x=-2$.

On peut remplir les tableaux de signe : $$ \begin{array}{l|ccccccccc|} x &-\infty & & x_2 & & -2 & & x_1 & & +\infty\\\hline x^2+2x-2 & & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline 3x+6 & & - & & - & 0 & + & & + & \\ \hline (x^2+2x-2)(3x+6)& & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & \\ nd{array} $$

Donc $S = [-1-\sqrt{3} ; -2] \cup [-1+\sqrt{3} ; +\infty[$

On cherche à résoudre : $\frac{3 x + 1}{4 - x}\leq 0$

$3 x + 1$ s'annule en $\frac{-1}{3}$ et $4-x$ en $4$

On peut remplir les tableaux : $$ \begin{array}{l|ccccccc|} x &-\infty & & -1/3 & & 4 & & +\infty\\\hline 3x+1 & & - & 0 & + & & + & \\ \hline 4-x & & + & & + & 0 & - & \\ \hline \frac{3x+1}{4-x}& & - & 0 & + & || & - & \\ nd{array} $$

Donc $S = ]-\infty; \frac{-1}{3}] \cup ]4 ; +\infty[$

Exercice 2 $f (x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 3 x -3$

Calcul de la dérivée : $$ f' (x)=\frac{2}{3} \times 3 x^2 - \frac{5}{2} imes 2 x - 3 -0 \\ f' (x)= 2 x^2 - 5x -3 $$ C'est un polynôme du second degré

Etude du signe de $f'$ : $$ \Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 49 \gt 0 $$ Les racines sont donc : $$ x_1 = \frac{5 + 7}{4}=3 \\ x_2 = \frac{5 - 7}{4}=\frac{-1}{2} $$ Et donc : $$ \begin{array}{l|ccccccc|} x &-\infty & & -1/2 & & 3 & & +\infty\\\hline f '(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ nd{array} $$

Etude des variations de $f$ : $$ \begin{array}{l|ccccccc|} x &-\infty & & -1/2 & & 3 & & +\infty\\\hline f & & \nearrow & f (\frac{-1}{2}) & \searrow & f (3) & \nearrow & \\ nd{array} $$

Exercice 3

$u_n$ est le nombre d'animaux en $2014 + n$
Baisse annuelle de 10%
$u_0 = 500$

a $u_1 = (1 - \frac{10}{100})u_0 = 0.9 u_0 = 0.9 \times 500 = 450$

b $(u_n)$ est une suite géométrique à cause de la baisse des 10% : le nombre d'individus se retrouve multiplié chaque année par le $CM = 1 - \frac{10}{100} = 0.9$. La raison est donc $0.9$ et le premier terme $500$

c Formule récursive : $u_{n+1} = 0.9 u_n$

d Formule explicite : $u_n = 500 \times 0.9^n$

a La variable P représente le nombre d'animaux à une certaine étape. Le numéro de l'étape est représenté par la variable N.

b On complète l'algorithme :

Variables : P un réel, N un entier Traitement : Affecter à N la valeur 0
Affecter à P la valeur $500$
Tant que P > $10$
Affecter à P la valeur P * $0.9$
Affecter à N la valeur $N+1$
Fin Tant que
Afficher N

c Il est possible de répondre grâce à l'algorithme ou grâce à la formule explicite. $$ u_37 \simeq 10.14 \\ u_38 \simeq 9.12 $$ Donc on prévoit moins de 10 animaux à partir de $2014 + 38 = 2052$

a On remplace la condition $P \gt 10 $ par $P \gt 1$

b $$ u_58 \simeq 1.1 \\ u_59 \simeq 0.99 $$ Donc on prévoit l'extinction vers $2073$ (bien sûr, il est possible de réagir avant, et de sortir de cette logique).